Explicación para calcular la distancia al horizonte tal y como lo contemplamos desde lo alto de una montaña. Unas pocas cuentas y resultados sorprendentes.

Uno de los alicientes que tenemos cuando subimos una montaña son las vistas. ¿Qué se puede ver desde la cima y cuánto podemos abarcar? Es una motivación tan fuerte que, en los días nublados o con mala visibilidad, parece que ascendemos con menos afán, ¿verdad?

Son frecuentes las conversaciones junto al vértice geodésico en las que discutimos sobre si se puede ver tal o cual sitio desde las alturas. También es común la situación en la que el experto y conocedor del terreno desvela a los compañeros toda la cadena de montañas que se pueden contemplar desde la cima. En este artículo vamos a:

1) teorizar sobre esta cuestión,
2) presentar unos ejemplos curiosos de cuánto podemos abarcar con la vista y, finalmente,
3) os vamos a proporcionar una herramienta web muy valiosa desarrollada por Ulrich Deuschle para contemplar el horizonte.


Distancia al horizonte. Versión oceánica

Comenzamos haciendo algunas simplificaciones1Si bien estas simplificaciones son aceptables para poder hacer cuentas, debemos recordar que la Tierra no llega a ser una esfera perfecta ya que existe una diferencia de un 1% entre el radio polar y el ecuatorial. Por otra parte, los efectos de la atmósfera (refracción) y la gravedad (curvatura de la luz en un campo) afectan a las cuentas en más de un 8%.:

i) la Tierra es una esfera perfecta, y
ii) la luz se propaga en línea recta (no refracción, no efectos gravitatorios).

En estas condiciones ideales supongamos que estamos en las Canarias, en lo alto del Teide. ¿Cuánta distancia podemos abarcar con nuestra mirada? En otras palabras, ¿a qué distancia se encuentra el horizonte del océano? La respuesta nos la sugiere el siguiente dibujo:

horizonte alt

La explicación del dibujo sería la siguiente: desde la altura h del Teide, podemos abarcar con la vista una distancia d justo hasta el punto del horizonte H. (Éste sería el punto en el que observaríamos a los barcos desaparecer por el horizonte, primero la base del casco y luego finalmente la bandera del mástil.)

Observemos que nuestra visual es tangente a la superficie terrestre precisamente en dicho punto H, por lo que será perpendicular al radio R de la Tierra y aplicamos ahora el teorema de Pitágoras:

Se obtiene entonces que la distancia d máxima que podemos abarcar con la vista desde la altura h del Teide es:

donde todas las unidades están expresadas en kilómetros. Para montañas normales como las que subimos los mortales, el valor de h es muy pequeño comparado con R. Por ejemplo, tomando h la altura del Teide, se tiene

donde tomamos el radio de la Tierra con el valor medio de 6.371 kilómetros. De esta forma, nos permitimos simplificar la expresión anterior para la distancia y dejarla simplemente en

donde todas las unidades se expresan en kilómetros2Esta simplificación puede hacerse también para montañas muy altas. De hecho, se utiliza para estudiar el alcance de las comunicaciones aéreas de cualquier tipo de aeronave así como globos meteorológicos. Tan sólo para satélites habría que considerar el término extra que estamos despreciando.. Esta fórmula no es la que se encuentra en la bibliografía sobre el tema pues lo usual es convertir la altura h a metros que es una unidad mucho más manejable y estándar para nuestras mediciones. Lo hacemos nosotros también:

y llegamos así a

donde la altura h se expresa en metros mientras que la distancia d se obtiene en kilómetros. Ahora bien, ¿es esto mucho o poco? Veamos algunos ejemplos:

  • si vamos en una barca, medimos 1,80 y nos ponemos de pie, entonces vemos hasta 5 kilómetros,
  • si nos subimos al Peñón de Ifach cuya altura es 332 metros, alcanzaríamos una distancia de 65 kilómetros mirando al Mediterráneo, y
  • si estamos en el Teide, en la cumbre a 3.718 metros, entonces la distancia abarcada es de 217 kilómetros.Es muy importante remarcar que hablamos de las distancias que abarcamos mirando al mar. Esto es, mirando a cota cero. La cosa cambia y podemos ver mucho más lejos si nos planteamos ver objetos (montañas) de mayor altura. Esto nos lleva a una versión diferente del problema: de nuevo estamos en lo alto del Teide y nos preguntamos si es posible contemplar la isla de Lanzarote. Entre medias sólo hay mar y ningún objeto sólido que entorpezca nuestra visión salvo las condiciones atmosféricas y la curvatura terrestre.¿Se podría ver entonces Lanzarote?Evidentemente, si somos capaces de ver algo de Lanzarote, deberían ser algunos de sus enclaves que se encuentran a mayor altura. En el área sur de la isla que es la zona más próxima a Tenerife encontramos la Atalaya de Femés con 609 metros. Por lo tanto, la pregunta anterior la cambiamos por: ¿podemos ver la Atalaya de Femés desde el Teide? Para responderla hay que hacer un razonamiento muy parecido al anterior aunque no os quiero aburrir. (El lector interesado puede intentar por su cuenta desentrañar el misterio. Aquí estoy por si necesita ayuda.)En resumidas cuentas, ocurre que la distancia máxima a la que se puede encontrar el Teide de la Atalaya de Femés para que exista contacto visual entre ambas cumbres viene dada por la expresión

    Es decir, si estas dos cumbres se encuentran a menos de 306 kilómetros una de la otra, entonces pueden contemplarse.

    Distancia entre el Pico del Teide y la Atalaya de Femés (Fuente: SIGPAC)

    Esto es así: la distancia entre ambas no sobrepasa los 300, así que en condiciones buenas de visibilidad es posible ver la Atalaya de Femés desde lo alto del Teide y viceversa. (De hecho, pueden verse más puntos de Lanzarote además de la Atalaya de Femés. El más lejano está a 301 kilómetros y mide una altura de 404 metros. Los quisquillosos comprobarán que con esta altura y esa distancia la fórmula anterior no cuadra, pero es posible verlo gracias a los efectos no contemplados que amplían la distancia visible: refracción y gravedad.)


    Distancia al horizonte. Versión continental

    Como veis, el problema es jugoso y da para mucho. Si cambiamos el terreno de juego y nos ponemos a trabajar en tierra firme las variables son mucho mayores – porque la geografía no es plana, sino montañosa – y las matemáticas salen más complicadas. Esencialmente, las dificultades se resumen en:

    i) al no trabajar en cota 0 (a nivel de mar) el radio de la tierra R debe modificarse en función de la altura de los puntos de la visual, y
    ii) aunque pueda ser factible ver un punto a una distancia dada, quizás exista una montaña más o menos alta situada en la visual que se interponga.

    Para resolver este problema se requieren matemáticas más complejas y resolver algoritmos que dependen, esencialmente, de la geografía involucrada. Estas cuentas las hace muy bien una página web que os mostraremos más adelante. Por ahora, vamos a poner un ejemplo para ilustrar esta situación. Supongamos que estamos en lo alto de la sierra de Crevillente a 835 metros. Si miramos hacia el oeste un día claro veremos refulgir la silueta de la Sagra.

    Visual entre la Sagra y la sierra de Crevillente (fuente: SIGPAC)

    En principio, esto no debería sorprendernos ya que la distancia en línea recta entre la Sagra y la sierra de Crevillente ronda los 158 kilómetros y, según nuestras cuentas, para que estas dos montañas se puedan ver deben distar menos de 277 kilómetros:

    Ahora bien, aunque tengamos muchos kilómetros de margen, además de la atmósfera y la curvatura de la tierra, aquí interviene de forma decisiva el relieve que se interpone entre ambas montañas. Curiosamente, la visual entre la sierra de Crevillente y la Sagra se cuela entre montañas muy altas como la Pila, Ricote y, muy especialmente, entre la sierra de Mojantes y el macizo de Revolcadores. Precisamente por esta configuración especial podemos ver perfectamente la Sagra a través de este ángulo exclusivo.

    En la siguiente entrada explicaremos más ejemplos y presentaremos una web deliciosa para contemplar panorámicas y calcular exactamente el punto de máxima distancia.Ver la siguiente entrada sobre este tema

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