En esta segunda parte vamos a contar más detalles sobre las redes geodésicas y, en concreto, hablaremos de los enlaces geodésicos como el que se realizó en el siglo XIX para acoplar la cartografía europea con la africana. Además, presentamos más curiosidades relacionadas con el conteo de cumbres y collados.

Vamos a continuar con la segunda parte dedicada a los vértices geodésicos. Como os decía en la anterior entrada, los vértices constituyen una red cuyos nodos están perfectamente localizados con sus coordenadas. Esto permite levantar mapas con la máxima precisión posible1Hay un límite teórico para esto que está establecido por un resultado matemático: es imposible hacer un mapa totalmente preciso. así como hacer medidas sobre la superficie terrestre que abarquen distancias enormes del orden de miles de kilómetros. (Una primera aplicación de las redes geodésicas fue medir arcos de meridiano para calcular con total precisión la circunferencia terrestre.)


Triangulación en Alemania. Siglo XIX

Rosa en el vértice de los Almeces. Sierra de Ricote. Murcia

El enlace geodésico entre Europa y África

Las redes geodésicas comenzaron a levantarse primero en el centro de Europa gracias al impulso de matemáticos como Gauss. Éste construyó la primera en el reino de Hannover en las décadas iniciales del siglo XIX. Pronto, con la creación de los institutos geográficos en cada país se fueron completando las redes en otros estados europeos. Evidentemente, cada país trabajaba por separado pero en las fronteras comunes se aprovechaban los mismos vértices. Por ejemplo, entre España y Francia y con los Pirineos de por medio, lo natural era adoptar el Balaitous o el Vignemale como vértices comunes para ambas triangulaciones2Esto remite a un concepto matemático muy interesante que se conoce como conexión. España y Francia están conectadas. No ocurre lo mismo con España y Gran Bretaña por ejemplo..

Esto tenía una ventaja esencial: permitía encajar correctamente la red de Francia con la de España de modo que la posición de una respecto a la otra estaba por completo determinada. En otras palabras, es como si España y Francia — los mapas — fueran dos piezas de un puzzle y el hecho de tener vértices en común nos permitían encajar las dos piezas correctamente: los vértices son las muescas de las piezas del puzzle que nos ayudan a colocarlas de modo perfecto.


Vértice del Bisaurín. Pirineo Aragonés


Vértice de las Almenaras. Sierra de Alcaraz

Ahora bien, ¿qué ocurría con los territorios insulares? Por ejemplo, vamos a pensar en las Canarias. Supongamos que hemos levantado una red geodésica para Tenerife y otra para Gran Canaria. Las preguntas son: ¿dónde se coloca una red con respecto a la otra? ¿a qué distancia? ¿en qué orientación? ¿en qué posición concreta?

Para hacer esto con corrección lo suyo era subirse al Teide — y a otros vértices — con objeto de manejar el teodolito con precisión para así determinar de forma absoluta la posición de la isla de Gran Canaria en relación a la isla de Tenerife. Esto es más o menos sencillo para islas próximas con cotas altas como las que estoy comentando, pero costaba lo suyo si la distancia era grande y no habían montañas — vértices — prominentes3Esto nos lleva a otro problema interesante que ya hemos comentado en alguna otra ocasión: ¿hasta dónde podemos ver en la distancia en función del sitio en el que estamos subidos?.


Panel conmemorativo en la cumbre de la Tetica de Bacares

La misma situación se aplica cuando queremos unir las redes geodésicas de dos continentes separados por el mar — ¿en qué se distingue un continente aislado de una isla gigantesca?

Así, en la segunda mitad del siglo XIX, con las redes geodésicas ya montadas en todos los países europeos así como en algunos del norte de África, se planteó la necesidad de enlazarlas. Se estudió entonces la mejor ubicación para conectarlas y se acordó trabajar desde el sur de España con el norte de Argelia (por aquel entonces era colonia francesa).

De esta forma, y después de muchos esfuerzos, se consiguió determinar por completo la posición de la red geodésica de Argelia en relación a la de España — o viceversa. Para ello se realizaron observaciones desde dos señaladas cumbres de las Béticas: el Mulhacén y la Tetica de Bacares. La épica historia de este evento está narrada deliciosamente en el libro Textos históricos sobre Sierra Nevada de Manuel Titos Martínez que recopila documentos del siglo XIX redactados por viajeros y científicos que se acercaron al macizo nevadense. Por internet también circulan múltiples documentos y os pongo vínculos a algunos de ellos:

Artículo original en la revista de obras públicas (versión PDF)

Artículo divulgativo en el blog ‘La murga de Nito’

Artículo divulgativo en el blog ‘Sierra Nevada’


Vértice del Caballo. El 3mil más occidental de Sierra Nevada

Preparando el vivac en el vértice de las Majaícas. Calar de Cabeza de la Mora. Sierra del Segura

Contando collados, depresiones y picos

Voy a terminar estas dos entradas dedicadas a los vértices geodésicos relatando una curiosidad matemática. Una vez que hemos conseguido triangular toda la superficie de un país o una isla nos podríamos plantear un juego sencillo: contar los vértices geodésicos que hemos construido. Por otra parte, observemos que cada dos vértices determinan una única arista (el camino más corto que los une). Contamos también el número de aristas. Finalmente, echamos también números para saber cuántos triángulos tenemos y obtendremos una tercera cantidad: las caras (o triángulos) de la triangulación.

Los matemáticos demostraron hace ya mucho tiempo4En concreto, esto empezó a vislumbrarlo con claridad Leonhard Euler, un máquina total de las matemáticas. que, para cualquier triangulación sobre un país, se tiene siempre la siguiente igualdad:

#caras – #aristas + #vértices = 1


Triangulación en la España peninsular

Lo sorprendente de esta fórmula es que es válida para toda triangulación sobre cualquier país5Una condición importante es que el país no debe tener lagos o mares interiores.. Así, funciona igual para Alemania, Francia, Italia o España. Es lo que se llama una ecuación topológica pues no importa la geometría del país, sino algo mucho más sutil, básico y decisivo que no estoy en condiciones de explicar aquí sin arriesgarme a perder muchos lectores6Nos estamos refiriendo a la topología: una ciencia que se ocupa de las propiedades que permanecen invariantes bajo transformaciones continuas, esto es, las que no rompen ni desgarran los materiales..

Finalmente, existe una misma versión de la fórmula anterior que se expresa en términos de collados, picos y depresiones. Así, se cumple para la geografía de cualquier país que

#picos – #collados + #depresiones = 1

Aquí habría que definir con más precisión que significa cada término. En pocas palabras:

  • un pico es un máximo de la función altura, esto es, un punto rodeado por otros puntos más bajos: el agua que cae sobre el mismo desciende en cualquier dirección
  • un collado es el paso más alto que comunica dos picos: el agua que cae en el collado tiene dos caminos posibles
  • una depresión es un mínimo de la función altura, un punto rodeado por otros puntos más altos: el agua que cae se queda atrapada en ella

Una muestra sencilla de esta ecuación está dada en el siguiente mapa de la península donde hemos simplificado al máximo los relieves, así como el número de cumbres y collados. Además, no aparece ninguna depresión.

Esquema simplificado con 4 cumbres y 3 collados. Funcionaría igual si incluyéramos todas las cumbres y todos los collados de la península

Os podréis preguntar para qué sirven todas estas historias. Sirven, sirven. Todo esto que estamos contando de las triangulaciones, los vértices, los picos, los collados, etc. está muy relacionado con otros ámbitos de la ciencia. Un ejemplo claro es la meteorología: puede hacerse una fórmula análoga a la que acabamos de presentar contando borrascas y anticiclones. De hecho, pueden probarse muchas cosas en relación a la meteorología que no requieren de observación directa, por ejemplo, que en cualquier instante de tiempo dado, siempre hay un punto de la superficie terrestre en el que no hay viento7Esto recibe el curioso nombre en matemáticas de Teorema de la Bola Peluda. Cosas de matemáticos locos.. ¡Toma ya!

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