Cuerdas rizadas, teoría de nudos y el estudio del ADN

Hace unas semanas estuve dando una charla sobre teoría de nudos en la Semana de la Ciencia organizada por un instituto de Murcia. Aunque mi debilidad son las montañas, mi trabajo son las matemáticas. De nuevo voy a intentar conjugar estos dos mundos en apariencia muy distantes.

Un fenómeno frecuente para los que manejamos cuerdas es la tendencia habitual de las mismas a rizarse. Este hecho es algo cotidiano y también se presenta cuando cogemos el mango de la ducha y el cable de los teléfonos de toda la vida. Nos podemos preguntar entonces: ¿por qué se riza una cuerda o el cable del mango de la ducha?

Lo que ocurre es un fenómeno bien conocido: al retorcer la cuerda sobre sí misma sucede que, al principio, y en virtud de su flexibilidad, ésta admite dicha torsión. Ahora bien, si seguimos retorciendo, llega un momento en que el material de la cuerda no admite más flexión y necesita girarse sobre sí misma en lo que se denomina un súper enrollamiento o, en palabras más comunes, un rizo. Es lo que ocurre en este dibujo:

Los matemáticos creamos modelos de las cosas que observamos en la naturaleza. Estos modelos, en primera instancia, buscan explicar lo que está sucediendo con un lenguaje pulcro y riguroso. El caso de las cuerdas rizadas no es una excepción y hay unas matemáticas detrás de todo el meollo de la cuestión. Voy a arriesgarme tratando de contaros cómo funcionan aún a riesgo de que dejéis de leer esta entrada en las próximas tres líneas.

1. Nuestro modelo

Para fijar ideas, vamos a pensar que nuestra cuerda está hecha de dos hebras trenzadas como la coleta de una niña o el típico cable de los altavoces. Para distinguir las dos hebras les ponemos color: una será azul y la otra roja.

(En realidad, una cuerda de escalada y casi todos los tipos de cuerdas se fabrican trenzando varias hebras unas con otras, así que no estamos suponiendo nada extraño. Yo mismo vengo de un pueblo en el que siempre se ha trabajado el esparto haciendo guitas, que son trenzas de tres hebras.)

En segundo lugar, vamos a pensar que nuestra cuerda no es lineal, sino circular, como un collar. Aunque os pueda parecer extraña esta suposición lo que queremos, realmente, es que nuestra cuerda no tenga extremos libres. En la práctica, cuando funcionamos con la cuerda, aunque ésta sea lineal y tenga dos cabos, sus extremos no están libres — Dios nos libre, valga la redundancia — sino que siempre están fijados bien al anillo del arnés, bien a la reunión con algún nudo como un ocho, un ballestrinque o un dinámico. (Esta hipótesis es imprescindible porque todo nuestro estudio sólo tiene sentido si las hebras están constreñidas, esto es, si no tienen libertad para moverse y cambiar su configuración.)

Con un dibujo lo vemos más claro:

En este dibujo, cuando intentamos desanudar las dos hebras (azul y roja) entonces aparecen rizos en la parte inferior de la cuerda. Si los extremos estuvieran libres no aparecerían los rizos y no habría lugar a ningún estudio. En la práctica, y como ya hemos comentado, aunque las cuerdas no son circulares sino lineales, sus extremos sí están fijados por lo que se producen tales rizos. (Probad a hacer un rápel con un ocho y encima anudando los dos cabos de la cuerda, veréis la que se monta.)

2. El número de enlace

Para una cuerda con sus dos hebras como las del dibujo anterior, se define el número de enlace L como la cantidad de veces que deberíamos cortar la hebra roja para separarla de la azul. (También valdría cortar la azul para separarla de la roja. En realidad, la operación no consiste únicamente en cortar, sino en cortar, pasar y pegar al otro lado.)

Algunos ejemplos sencillos para que entendamos lo que significa este número. En este primero se cumple L=1 pues debemos cortar una vez para separar ambos círculos.

En la siguiente reunión de escalada, el número de enlace es L=4 pues son 4 veces las que deberíamos cortar la cuerda para separarnos de la reunión.

Finalmente, en el siguiente y último ejemplo, haciendo una cuenta exhaustiva concluimos que debemos cortar 26 veces una de las hebras para liberarla de la otra:

3. El número de giros o vueltas

Lo más sencillo es que lo veamos directamente con un dibujo.

Así, se define el número de giros T para esta cuerda con dos hebras como la cantidad de vueltas que da la hebra azul alrededor de la roja. (De nuevo, la situación es simétrica: da lo mismo pensar en el número de vueltas que da la roja sobre la azul.)

4. El número de rizos

Dada una cuerda, se define el número de rizos W como la cantidad de rizos que presenta la cuerda. Por ejemplo:

El hecho de que el número de rizos sea un número con signo significa que la orientación es relevante, pero de eso no nos vamos a ocupar aquí. Demasiado tengo ya con que no os vayáis espantados de la web a leer el Facebook.

5. La fórmula de White

Las tres cantidades que os acabo de presentar, número de enlace, número de giros y número de rizos, están relacionadas de manera sorprendente. Así, se cumple la siguiente igualdad:

L=T+W

Esta ecuación es complicada de probar y por eso tiene nombre. En la literatura matemática se conoce como la fórmula de White. Su demostración podría ser algo así:

Evidentemente vamos a obviar esta prueba. Lo que no vamos a pasar por alto es explicar algunos aspectos de esta fórmula. Las cantidades T y W se dice que son geométricas pues dependen de la geometría, de la forma, de los aspectos métricos de la cuerda en sí. Por contra la cantidad L es de naturaleza topológica. Esta palabra tan rara nada tiene que ver con la topografía, ni con la toponimia. Únicamente tiene en común con estas dos últimas la raíz topos que significa lugar.

¿Qué significa el que L sea una variable topológica? Esto quiere decir que su valor no depende de la geometría, sino de algo mucho más esencial. Para que entendáis lo que nos traemos entre manos os voy a poner un ejemplo. Todos sabemos que una ruta en montaña puede ser circular o lineal. Dadas dos rutas lineales, éstas pueden diferenciarse en la distancia, en el recorrido, en el desnivel, etc. Todos estos aspectos son geométricos pero no topológicos. Desde el punto de vista de la topología, cualquier par de rutas lineales son la misma. Ahora bien, la topología es capaz de distinguir entre una ruta lineal y una ruta circular porque la circular se cierra sobre sí misma mientras que la lineal deja los extremos libres.

Otro ejemplo: estamos escalando y tenemos nuestra cuerda. A la topología poco le importa que nuestra cuerda esté más o menos curvada, que esté mal doblada, que haga más o menos bucles o que esté completamente estirada. La topología únicamente se preocupa de si estamos atados o no a la cuerda. Es capaz de distinguir si estamos encordados o no, pero no le interesa cuantos metros de cuerda hay y en qué disposición se encuentran: la topología es una mala ciencia para ir de primero de cordada porque no puede calcular el factor de impacto.

Como veis, la topología va a lo esencial. No le importan mucho los detalles geométricos, sino que le interesan las relaciones de proximidad, continuidad y adyacencia. Así, y como ejemplo final, desde el punto de vista topológico estos dos mapas son iguales:

Curioso, ¿verdad? Bien, retomamos ahora la fórmula de White. Os he comentado que las cantidades T y W eran geométricas mientras que L es topológica. Los valores de T y W tienen decimales, dependen de la geometría de la cuerda, pero el valor de L siempre es un número entero (sin decimales). Aquí tenéis un ejemplo de cómo funciona la fórmula:

Primero (a) tenemos una cuerda de dos hebras en disposición lineal con los extremos libres. Las dos hebras giran 10 veces entre sí. Si pegamos los extremos de las hebras (b) tenemos una cuerda con extremos fijos circular y se cumple la fórmula de White. Ahora bien, también podemos partir de (a), hacer un giro a las hebras y pegar los extremos como en (c). Entonces los valores de T,L y W ya no son iguales, pero se sigue cumpliendo la fórmula de White. Finalmente, como (c) es una posición inestable (la cuerda tiene tensión acumulada) entonces puede aparecer un rizo como en (d). De nuevo, se sigue cumpliendo la fórmula de White.

6. ADN, virus y aplicaciones a la medicina

Para terminar con esta historia os voy a presentar una de sus aplicaciones en el diseño de fármacos. Como es bien sabido el ADN es el material primordial de nuestras células a partir del cual se fabrica todo. El aspecto del ADN es similar al ya presentado de la cuerda con las dos hebras. No puedo entrar en muchos detalles pero podéis encontrar información sobre el tema en muchísimos sitios.

Esta molécula es capaz de duplicarse haciendo copias de sí misma y para ello las dos hebras deben desanudarse. Esto se consigue mediante la acción de unos compuestos químicos llamados enzimas. Las enzimas modifican la configuración del ADN y pueden facilitar — y también impedir — su duplicación. Así, cuando un virus nos infecta éste se reproduce a velocidad de vértigo. ¿Cómo podemos parar la infección? Pues la idea es diseñar un medicamento que contenga enzimas capaces de promover el anudamiento de las hebras del ADN del virus. Si estas hebras están muy anudadas (altos valores para T,L y W) entonces será complicada la reproducción.

Ahora bien, ¿cómo diseñar el medicamento? Evidentemente, hay que experimentar. El problema es que el ADN, pese a tratarse de un polímero, una molécula de colosales dimensiones, apenas puede visualizarse en un microscopio electrónico. De hecho, lo único que podemos contemplar del ADN son los rizos:

Y es aquí donde entra la fórmula de White. Cuando se diseña el fármaco y lo probamos en el ADN del virus no podemos medir directamente los cambios en los valores de L y T que son cantidades submicroscópicas, pero sí podemos apreciar los cambios en W. Así pues, la fórmula de White es una ventana que nos permite asomarnos para contemplar la acción oculta de las enzimas. Contando el número de rizos dado por W somos capaces de deducir los cambios en L y T y si el fármaco es realmente eficaz.

En realidad existen otras muchísimas aplicaciones y el tema es bastante más complicado, pero lo dejo aquí para que no os borréis de la web. Espero que lo hayáis disfrutado.